正負の数の考え方 加法と減法を正しく理解する【中学数学】

中学生の数学で最初に学習する「正負の数」について、現役塾講師が解説します。

単元としては難しくはありませんが、数字の捉え方は数学の基本となるのでしっかりと覚えましょう。

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「数」の種類(正の数と負の数)

正負の数の基本となる、数の種類についてまずは解説します。

小学生で習った「数」の種類

まずは小学生で習った数の種類を思いだしましょう。

小数には、

という名前がついていましたね。小数点の右から順番に小数第1位、小数第2位とよびます。

分数には、

という名前がついていましたね。下にある方が分母、上にある方が分子です。

『正の数(ふのかず)』と『負の数(ふのかず)』

中学1年生で習う『正の数(せいのかず)』と『負の数(ふのかず)』を紹介していきます。

0より大きい数を『正の数(せいのすう)』、0より小さい数を『負の数(ふのすう)』といいます。

また、正の数と負の数をまとめて『正負の数(せいふのかず)』といいます。

気をつけてほしいことは、0は正の数でも負の数でもない、ということ。

正の数と負の数は『符号(ふごう)』という記号であらわします。

『+』は『プラス』、『-』は『マイナス』とよみます。

実は、正の数には『+』をつけなくていい、というルールがあります。

符号がついていない数は正の数だと思ってください。でも、最初のうちは、ちゃんと符号も書いていきましょう。

小数や分数にも正の数と負の数があります。

数直線(すうちょくせん)

次に数直線について解説していきます。

小学生で習った数直線(すうちょくせん)

まずは小学生で習った数直線を思いだしましょう。

0から右に線を引いて、小さい数を右にならべていきます。

0を書いた場所のことを『原点(げんてん)』といいます。

大事なことは、

  • 「大きい数」は「右」にならべること
  • 「小さい数」は「左」にならべること

です。

正の数と負の数を数直線に書いていこう

正の数は「0より大きい数」だから、「0の右」に書いていきます。

負の数は「0より小さい数」だから、「0の左」に書いていきます。

正の数は、数字が大きい方が大きいですが、負の数は、数字が大きい方が小さいです。

たとえば、-3と-2では、-3の方が小さくなります。

絶対値(ぜったいち)~原点から離れている距離~

「原点からはなれている距離」を『絶対値(ぜったいち)』といいます。

早速+3の絶対値と-2の絶対値を求めてみましょう。

下の図を見てください。

「+3と原点との距離は3」 だから +3の絶対値は3

「-2と原点との距離は2」 だから -2の絶対値は2

となります。

正負の数から符号を取ればいいだけ、ですね。

ここで問題です。

(1) -1の絶対値は何でしょう。
(2) 0の絶対値は何でしょう。

原点からの距離を考えましょう。また、0は原点にあることも気をつけましょう。

解答を見る

(1) -1と原点との距離は1なので、-1の絶対値は1。
(2) 0と原点との距離は0なので、0の絶対値は0。

もうひとつ問題です。

絶対値が3になる数は何でしょう。

「絶対値が3の数」は「原点からの距離が3の数」です。0から右に3はなれている数と、0から左に3離れている数を探します。

解答を見る

+3と-3。
答えが2つになるから気をつけましょう。

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数の大小

数の大小「どっちの数が大きい?小さい?」を記号で表す方法を話します。

たとえば、+1と+2では、+1の方が小さくて、+2の方が大きいですね。

+1と+2の大小を『不等号(ふとうごう)』という記号を使って表します。

不等号(ふとうごう)は、ひらがなの「く」に似ていますね。

口が開いている方に大きい数を書きましょう。

ここで問題です。

(1) -3と+2の大小を不等号を使って表しましょう。
(2) -1と-3の大小を不等号を使って表しましょう。

数直線を思い出しながら考えると、どっちが大きいか、わかりやすくなります。

右にある方が大きくて、左にある方が小さいことに気をつけましょう。

解答を見る
(1) -3より+2の方が大きいから、不等号を使って表すと、
-3<+2 (+2>-3 と表してもいい)

(2) -1より-3の方が小さいから、不等号を使って表すと、
-3<-1 (-1>-3 と表してもいい)

3つの数の大小も不等式で表します。

たとえば、0、+2、-3の大小を考えます。数直線に書いていくと、

右にある方が大きいので、0、+2、-3の大小を不等号で表すと、

-3<0<+2 (+2>0>-3 と表してもいい)

となります。不等号の向きが同じになるように書きましょう。

+5、-4、-2の大小を不等号を使って表しなさい。

数直線を書いて考えてみるとわかりやすいです。

解答を見る

数直線の右にある方が大きいので、+5、-4、-2を不等号で表すと、
-4<-2<+5 (+5>-2>-4 と表してもいい)

正負の数は、数字を正確に把握する中学数学で大事な単元になります。

凄く難しいものではありませんが、数字をきちんと数えられることが数学の成績アップに繋がります。

反対の意味の言葉

正負の数は反対の量を表す数字です。「右に5進む」ことを「+5」と表すとすると、「左に5進む」ことは「-5」と表すことができます。

また、数字が入った文章を、正負の数を使って反対の意味の言葉にいいかえることがあります。たとえば、「東に+4m進む」を反対の意味の言葉を使って言いかえると、

「東」の反対は「西」

「+4m」の反対は「-4m」

です。この関係を使って、

「東に+4m進む」を「西に-4m進む」と言いかえることができます。

たとえば、「400円損した」を反対の意味の言葉を使って言いかえると、

「400円」は正の数なので、反対は「-400円」

「損した」の反対は「得した」

です。この関係を使って、

「400円損した」を「-400円得した」と言いかえることができます。

では問題です。

問題 次の文章を、反対の意味の言葉を使って言いかえましょう。

(1) 東に-3km進む

(2) 300円得した

(3) 2kg軽い

解答を見る

(1) 西に+3km進む

(2) -300円損した

(3) -2kg重い

正負の数の足し算・引き算

加法・減法

中学生では、足し算のことを「加法(かほう)」、引き算のことを「減法(げんぽう)」と言います。

足し算の答えを「和」、引き算の答えを「差」と言います。

2つの数の加法・減法

+の数は数直線を右に、-の数は数直線を左に進むイメージを持ちましょう。

符号がついていない数は+の数でしたね。

2+3を計算してみましょう。2+3は、「+2」と「+3」の移動です。

最初は「右に2」、続けて「右に3」進みます。答えは「+5」になります。

移動する順番は変えてもゴール(答え)は一緒になります。

最初に「右に3」、続けて「右に2」進んでも、「+5」になります。

つまり、2+3と3+2は同じ意味です。

このように加法は、計算する順番を変えてもいい、という性質があります。これを加法の「交換法則(こうかんほうそく)」といいます。

次に、2-3を計算してみましょう。

2-3は「+2」と「-3」の移動です。

最初は「右に2」、続けて「左に3」進んで、答えは「-1」になります。

実は、この計算も、移動する順番を変えて大丈夫です。

最初に「左に3」、続けて「右に2」進んでも、「-1」になります。

つまり、2-3と-3+2は同じ意味です。

それでは問題です。

問題 数直線をイメージして次の計算をしましょう。

(1) +4+2

(2) 4-2

(3) -3-2

(4) -2+5

考え方

数直線を書いて、移動のイメージで計算しましょう。

解答を見る

(1) +6

(2) +2

(3) -5

(4) +3

3つ以上の数の加法・減法

計算する数が3つ以上でも、考え方は一緒です。数直線をイメージしましょう。

試しに2-3+4計算をしてみましょう。移動は「+2」と「-3」と「+4」です。

移動する順番を変えて、右に進む合計の距離を計算しましょう。

「+2」と「+4」なので、「右に2」「右に4」進みます。

合計して「右に6」進みます。

つづけて、「-3」なので、「左に3」進みます。

答えは「+3」になります。

それでは問題です。

問題 次の計算をしましょう。

(1) +3+2+1

(2) -3-4-5

(3) 4-3+2

(4) -2+1-5

考え方

正の数どうし・負の数どうし計算しましょう。

解答を見る

(1) +6

(2) -12

(3) +3

(4) -6

(  )のついた加法・減法

2つの数の(  )のついた加法・減法

(+2)+(+7)

(-2)-(+5)

のような(  )のついた加法・減法は、(  )を消して計算します。

(  )を消すことを「かっこを外す」といいます。

反対に、(  )を書くことを「かっこを付ける」といいます。

ここでは(  )の外し方を話します。

(  )の前に符号がついていないとき

例えば、(+2)+(+7)の1番目の(  )はそのまま外します。

(+2)+(+7)

= +2 +(+7)

(  )の前に+がついているとき

例えば、+2+(+7)の(  )は、前の+と一緒に外します。

+2 +(+7)

= +2   +7

= +(2+7)

= +9

これで答えが出ました。

(  )の前に-がついているとき

たとえば、(-2)-(+5)の2番目の(  )は

(-2)-(+5)

=(-2)+(-5)

と計算します。そのあとは、(  )を外して計算します。

1番目の(  )は前に符号がついていないので、そのまま外します。

2番目の(  )は前に+がついているので、+(  )を消します。

(-2)+(-5)

= -2   -5

= -(2+5)

= -7

それでは問題です。

問題 次の計算をしましょう。

(1) (+4)+(+6)

(2) (-3)+(-8)

(3) (+3)-(+3)

(4) (-5)-(-2)

考え方

(  )を外しましょう。そのあとは数直線をイメージして答えを出しましょう。

解答を見る

(1) +10

(2) -3

(3) 0

(4) -3

3つ以上の数の(  )のついた加法・減法

(  )の外し方は、2つ数のときと一緒です。計算をするときは、

(1) (  )の前ついている-は+に変えて、(  )の中の符号を反対の符号に変える。

(2) +の数どうし、-の数どうし計算する。

(3) (  )を外して計算する。

の順番で計算していきましょう。

試しに次の計算をしてみましょう。

(+1)+(-2)-(+3)+(+4)-(-5)

最初は、

(1) (  )の前ついている-は+に変えて、(  )の中の符号を反対の符号に変える。

(+1)+(-2)-(+3)+(+4)-(-5)

=(+1)+(-2)+(-3)+(+4)+(+5)

次に、

(2) +の数どうし、-の数どうし計算する。

並びかえると見やすくなります。+の数を前に、-の数を後ろに並べかえましょう。

(+1)+(-2)+(-3)+(+4)+(+5)

=(+1)+(+4)+(+5)+(-2)+(-3)

+の数どうし、-の数どうし計算しましょう。

(+10)+(-5)

最後は、

(3) (  )を外して計算する。

+10   -5

= +(10-5)

= +5

これで答えがでました。

ここで問題です

問題 次の計算をしましょう。

(-10)-(-6)+(+8)-(+3)

考え方

計算の順番をしっかり確認して、とちゅうの式も書いていきましょう。

解答を見る

+1

数学を苦手としている中学生はたくさんいます。

数学が苦手な学生の多くは、基本ができていないケースがほとんどです。

基礎が理解できていないため、テストでどうやって解けばいいかわからないのです。

数学の教科書は、正直、基本を理解するには不十分だと感じています。

無駄をなくした教科書の解説は、数学が得意な学生にはピッタリなのですが、数学がわからない学生にはチンプンカンプンに感じてしまいます。

そんな数学が苦手な学生でも、基礎がしっかりと丁寧に解説している参考書であれば理解度を上げることができます。

市販の教材でも、教科書よりわかりやすい参考書があるので、丁寧に数学の解説をしている参考書を使って勉強するようにしましょう。

中学数学の解き方をひとつひとつわかりやすく。 (中学ひとつひとつわかりやすく)

受験生であれば、高校受験の勉強を効率化する方法中学の数学を基礎からマスターする方法も参考にして下さい。

正負の数の乗除

次に正負の数の乗除について考えていきましょう。

正負の数のかけ算

中学では、かけ算のことを『乗法(じょうほう)』といいます。乗法の答えのことを『積(せき)』といいます。

2つの数の乗法

まず「符号の決め方」を話します。

「おなじ符号の数をかけたら正の数になる、ちがう符号の数をかけたら負の数になる」と覚えましょう。

符号を決めたあとに数の計算をすると答えになります。

(+2)×(-2)を計算してみましょう。

最初に符号を決めます。正の数と負の数なので、符号は負です。

(+2)×(-2)
= -

次は数の乗法をします。2×2なので、4になります。

(+2)×(-2)
= -(2×2)
= -4
答えは-4です。

それでは問題です。

問題 次の計算をしましょう。
(1) (+3)×(+4)
(2) (-2)×(-4)
(3) (+2)×(-5)
(4) (-6)×(+7)

考え方
まずは符号を決めてから、数の乗法をします。

解答を見る
(1) +12
(2) +8
(3) -10
(4) -42

3つ以上の数の乗法

まず符号の決め方を話します。大事なのは「負の数の個数」です。

符号の決め方は、

(+2)×(-2)×(+3)を計算してみましょう。

最初に符号を決めます。負の数は1個(奇数個)あるので、符号は負です。
(+2)×(-2)×(+3)
=-

次に数の乗法をします。2×2×3なので、12になります。
(+2)×(-2)×(+3)
=-(2×2×3)
=-12
答えは-12です。

それでは問題です

問題 次の計算をしましょう。
(1) (+2)×(+3)×(+4)
(2) (-2)×(-3)×(-4)
(3) (+2)×(-3)×(-4)

考え方
まずは、負の数の個数を数えて、符号を決めましょう。そのあとに数の乗法をします。

解答を見る
(1) +24
(2) -24
(3) +24

正負の数のわり算

中学では、わり算のことを『除法(じょほう)』といいます。除法の答えのことを『商(しょう)』と言います。

中学では、余りを求める計算よりも、分数で答える問題が多くなります。

逆数(ぎゃくすう)

除法の計算のまえに、逆数(ぎゃくすう)のつくり方を話します。

逆数とは、「分子と分母を入れかえた数」のことです。

分数は、分子と分母を入れかえるだけです。

整数は、分母を1にして、分子と分母を入れかえます。

小数は、分数になおしてから逆数を考えます。

符号はそのままにしておきます。

これで逆数の完成です。

除法は乗法に変えよう

除法は乗法になおして計算します。

(+2)÷(-1/3)を計算してみましょう。
まず、÷を×になおして、÷のすぐ後ろの数を逆数にします。
(+2)÷(-1/3)
=(+2)×(-3/1)
=(+2)×(-3)

次に符号を決めます。あとは乗法を計算します。
(+2)×(-3)
=-(2×3)
¬=-6

それでは問題です。

問題 次の計算をしましょう。
(1) (+8)÷(-4)
(2) (-3)÷(-6)
(3) (-3/2)÷(-3)
(4) (+3/4)÷(+6/7)

解答を見る
(1) -2
(2) +1/2
(3) -1/3
(4)(+3/4)÷(+6/7) = (+3/4)×(+7/6) = +(3/4×7/6) = +7/8

累乗(るいじょう)

累乗は少し難しくなるので、少しづつ覚えていきましょう。

おなじ数をくり返しかける

おなじ数をくり返しかけた数を『累乗(るいじょう)』と言います。

くり返しかけた回数を『指数(しすう)』と言います。累乗は、くり返しかける数の右上に指数を書いて表します。

累乗の計算は、乗法になおしてから計算しましょう。

次の計算はとても間違えやすいので、しっかり覚えましょう。

(-2)^4のように、指数のすぐ左がカッコのときは、カッコの中の数をくり返しかけます。

-2^4のように、指数のすぐ左が数のときは、指数がついている数をくり返しかけます。

それでは問題です。

問題 次の計算をしましょう。
(1) (-3)^3
(2) -3^3
(3) ( ( 3 )/( 4 ) )^2

考え方
指数のすぐ左に注目して、累乗を乗法になおしてから計算しましょう。

解答を見る
(1) -27
(2) -27
(3) ( ( 3 )/( 4 ) )^2= ( 3 )/( 4 )× ( 3 )/( 4 )=( 3×3)/( 4×4)= ( 9 )/( 16 )

乗法・除法・累乗が混じった計算

乗法・除法・累乗が混じった計算では、計算する順番が大事です。たくさん練習して身につけましょう。

(+6)×(-2)^3÷(-3)×(+2) を計算してみましょう。

まずは、①累乗の計算をします。
(+6)×(-2)^3÷(-3)×(+2)
=(+6)×(-8)÷(-3)×(+2)

次は、②÷を×になおして、すぐうしろの数を逆数にします。
(+6)×(-8)÷(-3)×(+2)
=(+6)×(-8)×(-1/3) ×(+2)

次は、③符号を決めます。負の数は2つ(偶数個)あるので、符号は正です。
(+6)×(-8)×(-1/3) ×(+2)
=+(6×8×1/3×2)

最後に、④数の乗法をします。
+(6×8×1/3×2)
=+32

答えは+32です。

それでは問題です
問題 次の計算をしましょう。
(1) (-3)×(+2)^3
(2) (-3)÷(+2)^3
(3) (-5)^3×(-1)^3
(4) (-3)÷(+3)^3×(-3)

考え方
計算の順番に気をつけましょう。

解答を見る
(1) -24
(2) -3/8
(3) +125
(4) +1/3

数学を苦手としている中学生はたくさんいます。

数学が苦手な学生の多くは、基本ができていないケースがほとんどです。

基礎が理解できていないため、テストでどうやって解けばいいかわからないのです。

数学の教科書は、正直、基本を理解するには不十分だと感じています。

無駄をなくした教科書の解説は、数学が得意な学生にはピッタリなのですが、数学がわからない学生にはチンプンカンプンに感じてしまいます。

そんな数学が苦手な学生でも、基礎がしっかりと丁寧に解説している参考書であれば理解度を上げることができます。

市販の教材でも、教科書よりわかりやすい参考書があるので、丁寧に数学の解説をしている参考書を使って勉強するようにしましょう。

中学数学の解き方をひとつひとつわかりやすく。 (中学ひとつひとつわかりやすく)

受験生であれば、高校受験の勉強を効率化する方法中学の数学を基礎からマスターする方法も参考にして下さい。

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